Question

【題目】已知圓與直線相切，圓心在軸上，且直線被圓截得的弦長為．

（1）求圓的方程；

（2）過點作斜率為的直線與圓交于兩點，若直線與的斜率乘積為，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）設圓的方程為，則圓心到直線的距離為，由直線被圓截得的弦長為，及弦長公式，得關于的一個方程；再由圓與直線相切可得又一關于的一個方程；聯立方程，即可求出的值，而得到圓的方程；

（2）設直線的方程為，聯立直線與圓的方程，消去得到一個關于的一元二次方程，設，由韋達定理，可用將直線與的斜率乘積為表示出來，然后由可求出的值，進而就可求出的值.

試題解析：（1）設圓的方程為，

則圓心到直線的距離為，

由直線被圓截得的弦長為可得

，即，①

由圓與直線相切可得，即②，

由①②及解得，

故圓的方程為，

（2）設直線的方程為，聯立，

得，

則恒成立．

設，則，

則，

所以，

則，

故

則，

，

故