Question

【題目】設橢圓的離心率，左焦點為，右頂點為，過點的直線交橢圓于兩點，若直線垂直于軸時，有.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線： 上兩點， 關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）由離心率可得的關系，再由，結合隱含條件，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設直線的方程為，與直線的方程聯立，可得點的坐標，進一步得到的坐標，聯立直線與橢圓的方程，求得的坐標，則所在的直線方程可求，取，求得的坐標，得到，結合的面積為，即可求解實數的值，得到直線方程.

試題解析：

（1）設，因為所以有，又由得，

且，得，因此橢圓的方程為： .

（2）設直線的方程為，與直線的方程聯立，可得點，故.將與聯立，消去，整理， 解得，或.由點異于點，

可得點.由，可得直線的方程為

，令，

解得，故. 所以.

又因為的面積為，故，

整理得，解得，所以.

所以，直線的方程為或.