Question

【題目】已知數(shù)列滿足（，且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求出數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前n項和；

（3）對于任意，，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）(3) .

【解析】

（1）將式子寫為：得證，再通過等比數(shù)列公式得到的通項公式.

（2）根據(jù)（1）得到進而得到數(shù)列通項公式，再利用錯位相減法得到前n項和.

（3）首先判斷數(shù)列的單調(diào)性計算其最大值，轉(zhuǎn)換為二次不等式恒成立，將 代入不等式，計算得到答案.

（1）因為，

所以，，

所以是等比數(shù)列，其中首項是，公比為，

所以，.

（2），

所以，

由（1）知，，又，

所以.

所以，

所以兩式相減得

.

所以.

（3）

，所以當(dāng)時，，

當(dāng)時，，即，

所以當(dāng)或時，取最大值是.

只需，

即對于任意恒成立，即

所以.