Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸為非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位.圓的方程為被圓截得的弦長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先將圓C的方程化成直角坐標(biāo)方程，直線l化成普通方程，再由圓心到直線的距離以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）聯(lián)立直線l與圓C的方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義可得．

（Ⅰ）由得即. 直線的普通方程為， 被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心到的距離為，即解得.

（Ⅱ）法1：當(dāng)時(shí)，將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程得，

，即，由于，故可設(shè)是上述方程的兩實(shí)根，所以又直線過(guò)點(diǎn)，故由上式及的幾何意義得， .

法2：當(dāng)時(shí)點(diǎn)，易知點(diǎn)在直線上. 又，

所以點(diǎn)在圓外.聯(lián)立消去得，.

不妨設(shè)，所以 .