Question

已知函數f（x）=

sinπx

(x2+1)(x2-2x+2)

．對于下列命題：
①函數f（x）是周期函數；②函數f（x）既有最大值又有最小值；
③函數f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸；
④對于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函數f（x）的導函數）．
其中真命題的序號是______．（填寫出所有真命題的序號）

Answer 1

①函數f（x）是周期函數不正確，因為分母隨著自變量的遠離原點，趨向于正窮大，所以函數圖象無限靠近于X軸，故不是周期函數；
②函數f（x）既有最大值又有最小值，由①的判斷知，函數存在最大值與最小值，此命題正確；
③函數f（x）的定義域是R，且其圖象有對稱軸，由函數解析式可以得出，其圖象周期性穿過X軸，由于分母不斷增大，圖象往兩邊延伸都無限靠近于X軸，其對稱軸是x=12，此命題正確；
④對于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函數f（x）的導函數），此命題不正確，由于自變量從-1變化到0分母變小，而分子由0減小到-1，再由-1增大到0，所以函數值的變化是選減小再增大，故導數恒小于0不成立．此命題不正確．
綜上，②③正確
故答案為②③．