Question

【題目】如圖，已知拋物線E：（）與圓O：相交于A，B兩點，且.過劣弧上的動點作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線，，相交于點M.

（1）求拋物線E的方程；

（2）求點M到直線距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用求得圓心到弦的距離為1，即可求得點的坐標為，將代入拋物線方程可得，問題得解

（2）設，，分別求得與的方程，即可求得點的橫、縱坐標為，，聯立直線的方程和拋物線方程可得：，，即可得點的橫、縱坐標為，，再由點到直線距離公式可得點M到直線的距離為：，，利用其單調性可得：，問題得解

（1），且B在圓上，

所以圓心到弦的距離

由拋物線和圓的對稱性可得，

代入拋物線可得，解得，

∴拋物線E的方程為；

（2）設，，

由，可得，

∴，

則的方程為：，即——①，

同理的方程為：——②，

聯立①②解得，，

又直線與圓切于點，

易得方程為，其中，滿足，，

聯立，化簡得，

∴，，

設，則，，

∴點M到直線的距離為：

，

易知d關于單調遞減，，

即點M到直線距離的最大值為.