Question

【題目】如圖，在多面體中，為矩形，為等腰梯形，，，，且，平面平面，，分別為，的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn).連接，，可證，，然后利用平面平面，可證平面.（Ⅱ）將多面體分為四棱錐和三棱錐兩部分，將轉(zhuǎn)化為，然后利用四棱錐和三棱錐的體積公式分別求出然后求和即可.

解：（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn).連接，.

在矩形中，∵，分別為線段，的中點(diǎn)，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

在中，∵，分別為線段，的中點(diǎn)，

∴.

又平面，平面，

∴平面.

又，平面，

∴平面平面

又平面，∴平面.

（Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)作于.

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

同理平面.

連接，.在中，∵，，

∴.

同理.

∵，∴等邊的高為，即.

連接.

∴

.