Question

【題目】已知函數．

Ⅰ若函數的最大值為3，求實數的值；

Ⅱ若當時，恒成立，求實數的取值范圍；

Ⅲ若，是函數的兩個零點，且，求證：．

Answer 1

【答案】Ⅰ4；Ⅱ；證明見解析.

【解析】

Ⅰ求出函數的定義域，利用導函數符號判斷函數的單調性，由單調性求解函數的最大值，然后求出即可；Ⅱ化簡恒成立的不等式為，得到令，利用函數的導數符號判斷函數的單調性，得到，然后求解的范圍；Ⅲ，是函數的兩個零點，可得，構造函數，利用函數的導數的符號判斷函數的單調性，推出，得到，即可證明結論．

Ⅰ函數的定義域為因為，

所以在內，，單調遞增；

在內，，單調遞減．

所以函數在處取得唯一的極大值，即的最大值．

因為函數的最大值為3，

所以，

解得

Ⅱ因為當時，恒成立，

所以，

所以，

即．令，

則

因為，

所以．

所以在單調遞增

所以，

所以，

所以即實數k的取值范圍是；

Ⅲ由Ⅰ可知：，．

所以

因為，是函數的兩個零點，

所以．

因為

令，

則．

所以在，，單調遞減．

所以．

所以，即．

由Ⅰ知，在單調遞增，

所以，

所以