Question

【題目】給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”.若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準圓”方程；

（2）點是橢圓的“準圓”上的動點，過點作橢圓的切線交“準圓”于點.

①當點為“準圓”與軸正半軸的交點時，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長為定值.

Answer 1

【答案】（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題目條件可求出的值，進而可得出橢圓的方程和其“準圓”方程；（2）①根據條件先求出點的坐標并設出直線的方程，再聯立橢圓的方程，并結合，即可求得方程并進而證明；②根據前面的結論，并注意對直線的斜率進行討論，證明線段總是準圓的直徑，從而證得線段的長為定值.

試題解析：（1），

橢圓方程為，

準圓方程為．

（2）（ⅰ）因為準圓與軸正半軸的交點為，

設過點且與橢圓相切的直線為，

所以由得.

因為直線與橢圓相切，

所以，解得，

所以方程為．

， ．

（ⅱ）①當直線中有一條斜率不存在時，不妨設直線斜率不存在，

則： ，

當： 時，與準圓交于點，

此時為（或），顯然直線垂直；

同理可證當： 時，直線垂直

②當斜率存在時，設點，其中.

設經過點與橢圓相切的直線為，

所以由

得.

由化簡整理得，

因為，所以有.

設的斜率分別為，因為與橢圓相切，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直．

綜合①②知：因為經過點，又分別交其準圓于點，且垂直.

所以線段為準圓的直徑， ，

所以線段的長為定值．