Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形．
（1）證明：AB⊥PC；
（2）若AB=2PC= ，求三棱錐P﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點G，連結PG，CG．

∵△PAB和△CAB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，

∴PG⊥AB，CG⊥AB，

∵PG∩CG=G，且PG平面PCG，CG平面PCG，

∴AB⊥平面PCG，

又∵PC平面PCG，

∴AB⊥PC

（2）解：在等腰直角三角形PAB中，AB= ，G是斜邊AB的中點，

∴PG= AB= ，同理CG= ，

∵PC= ，∴△PCG是等邊三角形，

∴S△PCG= PCCGsin60°= = ，

∵AB⊥平面PCG，

∴VP﹣ABC= S△PCGAB= =

【解析】（1）根據線面垂直的性質定理證明AB⊥平面PCG，然后根據線面垂直的性質即可證明AB⊥PC．（2）根據三棱錐的體積公式先求出底面積和高，進行求解即可．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點才能正確解答此題．