Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E為BD的中點．
（1）求證：BM⊥平面ADM；
（2）求直線AE與平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABM中，AB=2， ，∴AM⊥BM，

又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，且BM平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM

（2）解：如圖，以M點為坐標原點，MA所在直線為x軸，MB所在直線為y軸建立空間直角坐標系，

則M（0，0，0）， ， ， ，

∵E為BD中點，∴ ， ，

由（1）知， 為平面ADM的一個法向量，

，

，

∴直線AE與平面ADM所成角的正弦值為

【解析】（1）根據線面垂直的判定定理證明即可；（2）求出平面ADM的一個法向量，求出 ， 的余弦值，從而求出直線AE與平面ADM所成角的正弦值．