Question

【題目】如圖，在正四面體ABCD中， 是的中心， 分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且．

（1）若平面，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為，求平面和平面所成的角余弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問主要考查線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，若平面，那么經(jīng)過OE的平面與平面ACD相交，則OE平行于交線，因此需要找到經(jīng)過OE的平面，由是正的中心，易知O為BC的三等分點(diǎn)，因此能確定E點(diǎn)位置；（2）本問主要考查用空間向量求二面角問題，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，以O為原點(diǎn)，過O作CD的垂線為x軸，過O作BC的垂線為y軸，OA為z軸，建立空間直角直角坐標(biāo)系，則易得出下列各點(diǎn)坐標(biāo), ,由此求出相關(guān)向量的坐標(biāo),再分別求出平面和平面的法向量，根據(jù)兩個(gè)平面的法向量可以求夾角的余弦，再由圖觀察向量成角的余弦與二面角余弦之間的關(guān)系即可.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接,

∵是正的中心 ∴點(diǎn)在上，且，

∵當(dāng)時(shí)，平面 ,

∴∴,即,

∴.

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題設(shè)

，則, ,

則,

設(shè)平面的法向量為則,

∴,

不妨令，則，

又平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)所求二面角為，則.