Question

已知橢圓兩焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點.   

（1）求P點坐標；                               
（2）求證直線AB的斜率為定值；   
（3）求△PAB面積的最大值。

Answer 1

（1）P點坐標：.
（2）AB的斜率為定值
3）三角形PAB面積的最大值為。…

1）由題可得，，設
則，，
∴，∵點在曲線上，則，∴，從而，得.則點P的坐標為.
（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設PB的斜率為，
則BP的直線方程為：.
由得 ，
設，則，
同理可得，則，.
所以：AB的斜率為定值.

（3）設AB的直線方程：.
由，得，
由，得
P到AB的距離為，
則 
。
當且僅當取等號
∴三角形PAB面積的最大值為。