Question

【題目】已知點(diǎn)F（0，1），直線l：y=﹣1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且 ．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點(diǎn)D（0，2），圓心M在軌跡C上運(yùn)動，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)|DA|=l1 ， |DB|=l2 ， 求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)P（x，y），則Q（x，﹣1），

∵ ，

∴（0，y+1）（﹣x，2）=（x，y﹣1）（x，﹣2）．

即2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），即x2=4y，

所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程x2=4y

（2）解：設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M（a，b），則a2=4b．①

圓M的半徑為 ．

圓M的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+（b﹣2）2．

令y=0，則（x﹣a）2+b2=a2+（b﹣2）2，

整理得，x2﹣2ax+4b﹣4=0．②

由①、②解得，x=a±2．

不妨設(shè)A（a﹣2，0），B（a+2，0），

∴ ， ．

∴ = ，③

當(dāng)a≠0時(shí)，由③得， ．

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立．

當(dāng)a=0時(shí)，由③得， =2．

故當(dāng) 時(shí)， 的最大值為 ．

【解析】（1）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入 整理即可得到動點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）先利用條件設(shè)出圓的方程，并求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及|DA|=l1 ， |DB|=l2的表達(dá)式，代入 整理后利用基本不等式求最大值即可．