Question

【題目】已知函數，，.

（1）若曲線在處的切線與曲線相切，求的值；

（2）當時，函數的圖象恒在函數的圖象的下方，求的取值范圍；

（3）若函數恰有2個不相等的零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先寫出曲線在處的切線方程，再設切線與相切的切點為，，，，可解出．

（2）由題知任意，，恒成立，恒成立，可得出，令，，，只需小于的最小值即可．

（3），分五種情況當，，，，時，討論函數單調性，分析的零點，進而得出的取值范圍．

解：（1），

函數的導數為，

函數在處的切線的斜率為，

函數在處的切線的方程為.

由函數在處的切線與函數相切，

聯立，得.

所以，得.

（2）設函數

，

所以.

①當時，，，函數在上單調遞增.

由題意，

所以.

②當時，當時，，函數在上單調遞減；

當時，，函數在上單調遞增.

由題意，

即.

又因為，不成立.

綜上所述，的取值范圍為.

（3）.

①當時，若，，單調遞增；

若，，單調遞減；

若，，單調遞增.

所以的極大值為

，

所以函數的圖象與軸至多有一個交點.

④當時，若，，單調遞減；

若，，單調遞增.

所以.

（1）當，即時，函數的圖象與軸至多有一個交點.

（2）當，即時，

.

令，，，

，

，

所以當時，，

所以，

所以存在，.

，

所以存在，.

（3）當時，只有一個零點，

綜上所述，實數的取值范圍為.