Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右頂點分別為A，B，左焦點為F，O為原點，點P為橢圓C上不同于A、B的任一點，若直線PA與PB的斜率之積為，且橢圓C經過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若P點不在坐標軸上，直線PA，PB交y軸于M，N兩點，若直線OT與過點M，N的圓G相切.切點為T，問切線長是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，定值為3

【解析】

（1）由斜率之積可求得，的關系，將代入可再得，的關系，解出，的值，即可求出橢圓的方程；

（2）由（1）得，的坐標，設，滿足橢圓的方程，得直線，，求出，的坐標，再用圓中切割線定理得切線長的值．

（1）設，由題意得，，，

而得：①，

又過②，所以由①②得：，；

所以橢圓的方程：；

（2）由（1）得：，設，，則直線的方程，令，則，所以的坐標，

直線的方程：，令，，所以坐標，

（圓的切割線定理），再聯立，