Question

某公司經銷某種產品，每件產品的成本為6元，預計當每件產品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為（12-x）²萬件．
（1）求公司一年的利潤y（萬元）與每件產品的售價x的函數關系；
（2）當每件產品的售價為多少時，公司的一年的利潤y最大，求出y最大值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（1）年利潤=（單價-成本）×年銷售量；
（2）利用導數的符號可判斷函數在[9，11]上的單調性，由單調性可求得最大值．

解答： 解：（1）由題意，得y=（x-6）×（12-x）²=（x³-30x²+288x-144×6）（9≤x≤11 ），
∴公司一年的利潤y（萬元）與每件產品的售價x的函數關系為：
y=（x³-30x²+288x-144×6）（9≤x≤11 ）；
（2）y'=（3x²-60x+288），
令y'=0，即x²-20x+96=0，（x-12）（x-8）=0，解得x=8，x=12，
當x∈（-∞，+8），x∈（12，+∞） 時y為增函數，當x∈（8，12）時y為減函數，
又x∈[9，11]，
∴當x∈[9，11]時y為減函數，
∴當x=9 時，ymax=3×32=27 （萬元），
答：當每件產品的售價為9元時，一年的利潤最大為27萬元．

點評：該題考查利用導數研究函數的最值，根據實際問題正確構建函數模型是解決該題的關鍵．