Question

已知數列{a_n}滿足a₂=

1

3

，a_n=

1

3

（1-a_n-1），求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由數列遞推式結合a₂=

1

3

求得a₁，再由數列遞推式構造出等比數列{an-

1

4

}，求出其通項公式，則數列{a_n}的通項公式可求．

解答： 解：由a_n=

1

3

（1-a_n-1），得an=-

1

3

an-1+

1

3

，
即an-

1

4

=-

1

3

(an-1-

1

4

)，
再由a₂=

1

3

，a_n=

1

3

（1-a_n-1），得a₁=0，
∴a1-

1

4

=-

1

4

．
∴數列{an-

1

4

}是以-

1

4

為首項，以-

1

3

為公比的等比數列．
則an-

1

4

=-

1

4

×(-

1

3

)n-1，
∴an=

1

4

-

1

4

×(-

1

3

)n-1．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，是中檔題．