Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）證明f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）是否存在實數(shù)a使得f（x）的定義域、值域都是 ，若存在求出a的值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設x2＞x1＞0，

則f（x2）﹣f（x1）=（ ﹣ ）﹣（ ﹣ ）= ﹣ = ，

∵x2＞x1＞0，∴x2﹣x1＞0，

∴ ＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）遞增

（2）解：∵f（x）在（0，+∞）遞增，

且定義域和值域均是[ ，2]，

∴ ，

所以存在實數(shù)

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關于a的方程組，解出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的值域的相關知識，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，以及對利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．