Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，C．已知3cos（B－C）－1＝6cosBcosC．

（1）求cosA；

（2）若a＝3，△ABC的面積為，求邊b和c．

Answer 1

【答案】（1）（2） 或

【解析】

試題分析：（1）利用兩角和與差的余弦函數公式化簡已知等式左邊的第一項，移項合并后再利用兩角和與差的余弦函數公式得出cos（B+C）的值，將cosA用三角形的內角和定理及誘導公式變形后，將cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；（2）由cosA的值及A為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及sinA的值代入，得出bc=6，記作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出關于b與c的關系式，記作②，聯立①②即可求出b與c的值

試題解析：（1）由3cos（B－C）－1＝6cosBcosC

知3（cosBcosC＋sinBsinC）－1＝6cosBcosC，2分

3（cosBcosC－sinBsinC）＝－1，

即cos（B＋C）＝－，又A＋B＋C＝π，4分

∴ cosA＝－cos（B＋C）＝． 6分

（2）由0<A<π及cosA＝知sinA＝，7分

又S△ABC＝2，即bcsinA＝2，

∴ bc＝6． 8分

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，

∴，10分

∴ 或 12分