Question

【題目】已知函數， .

（1）求函數在的最小值；

（2）若函數與的圖象恰有一個公共點，求實數的值；

（3）若函數有兩個不同的極值點，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由，得極值點為，分情況討論及時，函數的最小值；（Ⅱ）當函數有兩個不同的極值點，即有兩個不同的實根，問題等價于直線與函數的圖象有兩個不同的交點，由單調性結合函數圖象可知當時， 存在，且的值隨著的增大而增大，而當時，由題意， 代入上述方程可得，此時實數的取值范圍為.

試題解析：（Ⅰ）由，可得，

①時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

函數在上的最小值為，

②當時，在上單調遞增，

，

；

（Ⅱ），則

題意即為有兩個不同的實根，

即有兩個不同的實根，

等價于直線與函數的圖像有兩個不同的交點，

， 在上單調遞減，在上單調遞增，

畫出函數圖像的大致形狀（如右圖），

由圖像知，當時， 存在，且的值隨著的增大

而增大，而當時，由題意，

兩式相減可得

代入上述方程可得，

此時，

所以，實數的取值范圍為；