Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性和極值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，②當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在處取得極小值；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題（1）先求，然后討論當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；②當(dāng)，由，解得，得增區(qū)間，得減區(qū)間，進(jìn)而求得極值；（2）存在零點(diǎn)只需最小值，從而，討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況，根據(jù)單調(diào)性及零點(diǎn)定理可分別證明只有一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，

，

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，

②當(dāng)，由，解得，

與在區(qū)間上的情況如下：

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

所以在處取得極小值.

（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為.

因?yàn)?/span>存在零點(diǎn)，所以，從而.

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，

所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)時(shí)，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).