Question

【題目】已知函數，其中．

（1）當時，求證： ；

（2）對任意，存在，使成立，求的取值范圍.（其中是自然對數的底數， ）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的最大值，證明結論即可；
（2）問題轉化為, 設，求導，利用單調性求范圍即可.

試題解析：

解：（1）當時， ，

則，令，得，

當時， ， 單調遞增；當時， ， 單調遞減，

故當時，函數取得極大值，也為最大值，所以，

所以，得證．

（2）原題即對任意，存在，使成立，

只需，

設，則，

令，則對于恒成立，

所以為上的增函數，

于是，即對于恒成立，

所以為上的增函數，則，

令，則，

當時， 為的減函數，且其值域為，符合題意．

當時， ，由得，

由得，則在上為增函數；由得，則在上為減函數，所以，從而由，解得，綜上所述， 的取值范圍是．