Question

【題目】設函數f（x）=loga（1﹣），其中0＜a＜1．
（Ⅰ）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數；
（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設0＜a＜x1＜x2 ， g（x）=1﹣，
則g（x1 ）﹣g（x2）=（1﹣）﹣（1﹣）=＜0，
∴g（x1 ）＜g（x2 ），
又∵0＜a＜1，
∴f（x1 ）＞f（x2 ），
∴f（x）在（a，+∞）遞減；
（Ⅱ）∵＞1，
∴0＜1﹣＜a，
∴1﹣a＜＜1，
∵0＜a＜1，
∴1﹣a＞0，
從而a＜x＜，
∴x的范圍是（a，）．
【解析】（Ⅰ）設0＜a＜x1＜x2 ， g（x）=1﹣ ， 則g（x1 ）﹣g（x2）=＜0，進而f（x1 ）＞f（x2 ），得f（x）在（a，+∞）遞減；
（Ⅱ）由＞1，得1﹣a＜＜1，從而a＜x＜ ， 從而求出x的范圍．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．