Question

【題目】某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段： ， ，…， ，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中實數的值；

（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；

（3）若從數學成績在與兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 高一年級數學成績不低于60分的人數約為人;(3) 這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率為.

【解析】試題分析：（1）根據圖中所有小矩形的面積之和等于1建立關于a的等式，解之即可求出所求；
（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率，然后根據頻數=頻率×總數可求出所求；
（3）成績在[40，50）分數段內的人數，以及成績在[90，100]分數段內的人數，列出所有的基本事件，以及兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．

試題解析：

(1)由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.

解得a=0.03

(2)根據頻率分布直方圖,成績不低于60分的頻率為110×(0.005+0.01)=0.85由于該校高一年級共有學生640人,利用樣本估計總體的思想,可估計該校高一年級數學成績不低于60分的人數約為640×0.85=544人

(3)成績在[40,50)分數段內的人數為40×0.05=2人,分別記為A,B，成績在[90,100]分數段內的人數為40×0.1=4人,分別記為C,D,E,F.

若從數學成績在[40,50)與[90,100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生,則所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15種.…(9分)

如果兩名學生的數學成績都在[40,50)分數段內或都在[90,100]分數段內,那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個成績在[40,50)分數段內,另一個成績在[90,100]分數段內，那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定大于10.

記“這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”為事件M,則事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7種.所以所求概率為P(M)= .