Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率等于，它的一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知、（）是橢圓上的兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率為.

①求四邊形APBQ的面積的最大值；

②求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)橢圓C的方程，再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，和橢圓離心率，則可求出橢圓C的方程的解析式.

（2）①先求出m的值，設(shè)，和直線AB的方程，再聯(lián)立直線AB的方程和由（1）求得的橢圓方程，得到，可求出t的范圍，再根據(jù)韋達(dá)定理可得，則四邊形APBQ的面積的最大值可求，②由①得P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式寫出,,再將化簡(jiǎn)即可得則可證.

（1）由題意設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，

由，

∴橢圓C的方程為.

（2）①當(dāng)時(shí)，解得，

，

設(shè)，直線AB的方程為，

，

，

由，解得，

由韋達(dá)定理得.

，

由此可得：四邊形APBQ的面積，

∴當(dāng)時(shí)，.

②，

，

，

即 ，

.