Question

【題目】已知橢圓（）的一個焦點是， 為坐標原點，且橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，過點的直線交橢圓于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上一點，且滿足，當，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：根據c=1,短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，得出a,b，寫出橢圓的方程，設AB的方程，聯立方程組，代入整理，利用 設而不求思想，借助根與系數關系解題，根據向量所提供的坐標關系結合根與系數關系，依據題目所給的向量差的模小于，解出的范圍 。

試題解析：

（Ⅰ）設為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形，

所以， ， ，

因此，橢圓C的方程為．

（Ⅱ）設， ， ， 的方程為，

由整理得，

由，得

，

則，

由點在橢圓上，得，

化簡得，

因為，所以，

即，

即，

即，所以，

即，因為，

所以，

所以，即的取值范圍為．