Question

【題目】已知{fn（x）}滿足f1（x）= （x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]，
（1）求f2（x），f3（x），并猜想fn（x）的表達式；
（2）用數學歸納法證明對fn（x）的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）

解： 猜想： ，（n∈N*）

（2）

解：下面用數學歸納法證明 ，（n∈N*）

①當n=1時， ，顯然成立；②假設當n=k（k∈N*）時，猜想成立，即 ，

則當n=k+1時，

即對n=k+1時，猜想也成立；

結合①②可知，猜想 對一切n∈N*都成立

【解析】（1）依題意，計算f2（x）=f1[f1（x）]可求得f2（x），同理可求f3（x）；（2）由（1）可猜想 ，然后用數學歸納法證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用歸納推理和數學歸納法的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．