【題目】設函數
， 
（
）.
（1）求函數
的單調增區間；
（2）當
時，記
，是否存在整數
，使得關于
的不等式
有解？若存在，請求出
的最小值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）當
時， 
的單調增區間為
; 
時， 
的單調增區間為
;（2）0.
【解析】試題分析：（Ⅰ）先求函數的導函數，原函數的單調增區間即為使導函數大于零的區間，根據導函數分段討論
的不同取值范圍時的單調增區間即可.
（Ⅱ）
單調遞增，存在唯一
，使得
，即
，當
時， 
，當
時， 
，所以
求得
的范圍，得到
的范圍，得到
最小整數值.
試題解析：（1）
（
）
①當
時，由
，解得
；
②當
時，由
，解得
；
③當
時，由
，解得
；
綜上所述，
當
時， 
的單調增區間為
；
時， 
的單調增區間為
.
（2）當
時， 
， 
， 
，
所以
單調遞增， 
， 
，
所以存在唯一
，使得
，即
，
當
時， 
，當
時， 
，
所以
，
記函數
，則
在
上單調遞增，
所以
，即
，
由
，且
為整數，得
，
所以存在整數
滿足題意，且
的最小值為0.
點晴:本題主要考查導數的單調性，導數與極值點、不等式等知識. 解答此類問題，應該首先確定函數的定義域，否則，寫出的單調區間易出錯. 解決含參數問題及不等式問題注意兩個轉化：(1)利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用．(2)將不等式的證明、方程根的個數的判定轉化為函數的單調性問題處理．
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【題目】下列說法中正確的有（ ）
①冪函數的圖象一定不過第四象限；
②已知常數a＞0且a≠1，則函數f（x）=ax﹣1﹣1恒過定點（1，0）；
③若存在x1 ， x2∈I，當x1＜x2時，f（x1）＜f（x2），則y=f（x）在I上是增函數；
④ 
的單調減區間是（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個
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【題目】已知數列{an}中，a1= 
，an= 
（n≥2，n∈N+）．
（1）求a2 ， a3 ， a4的值，并猜想數列{an}的通項公式an ．
（2）用數學歸納法證明你猜想的結論．
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【題目】已知函數f（x）= 
．
（ I）判斷f（x）的奇偶性；
（ II）求證：f（x）+f（ 
）為定值；
（III）求 
+ 
+ 
+f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．
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【題目】甲乙丙三人在進行一項投擲骰子游戲中規定：若擲出1點，甲得1分，若擲出2點或3點，乙得1分；若擲出4點或5點或6點，丙得1分，前后共擲3次，設x，y，z分別表示甲、乙、丙三人的得分．
（1）求x=0，y=1，z=2的概率；
（2）記ξ=x+z，求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．
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【題目】已知{fn（x）}滿足f1（x）= 
（x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]，
（1）求f2（x），f3（x），并猜想fn（x）的表達式；
（2）用數學歸納法證明對fn（x）的猜想．
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【題目】醫院到某社區檢查老年人的體質健康情況，從該社區全體老人中，隨機抽取12名進行體質健康測試，測試成績（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根據老年人體質健康標準，成績不低于80的為優良．
（1）將頻率視為概率，根據樣本估計總體的思想，在該社區全體老年人中任選3人進行體質健康測試，求至少有1人成績是“優良”的概率；
（2）從抽取的12人中隨機選取3人，記ξ表示成績“優良”的人數，求ξ的分布列和期望．
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