Question

【題目】已知數列滿足：.

（1）寫出數列的前6項的值；

（2）猜想數列與的單調性，選擇一種情形證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1），，，，，；（2）證明見解析．

【解析】

（1）由已知得，由此依次求得；

（2）由歸納法得出數列與的單調性，并用數學歸納法證明．

（1）∵，∴，

∴，，，，，

（2）由（1） 結論：是遞增數列，是遞減數列．

由，得，由知數列是正項數列，

①證是遞增數列，即證對一切正整數恒成立，

（i）顯然，即時，不等式成立，

（ii）假設時，不等式成立，即，∴，則，，即，

易知函數在上是增函數，

∴，

∴，

∵，∴，即，

∴時，不等式成立，

綜合（i）（ii）可知對一切正整數，成立，即是遞增數列．

②證是遞減數列，即證對一切正整數恒成立，

（i）顯然，即時，不等式成立，

（ii）假設時，不等式成立，即，∴，則，，（舍去），

易知函數在上是增函數，

∴，

∴，

∵，∴，即，

∴時，不等式成立，

綜合（i）（ii）可知對一切正整數，成立，即是遞減數列．