Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，AA1＝3．

（1）求三棱柱ABC－A1B1C1的體積；

（2）若M是棱BC的一個(gè)靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求二面角A－A1M－B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)根據(jù)正弦定理求底面的面積，再由棱柱的體積公式求得體積，即可；（2）先根據(jù)題干條件得到以及圖形特點(diǎn)得到AM⊥平面ABB1A1再建立坐標(biāo)系，求得二面角的余弦值即可.

（1）因?yàn)?/span>∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，

所以．

所以．

（2）在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2×AC×AB×cos∠BAC

，

所以．

因?yàn)镸是棱BC的一個(gè)靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

所以．

因?yàn)椤?/span>BAC＝120°，AC＝AB＝2，

所以∠ACB＝∠ABC＝30°．

由余弦定理，得AM2＝AC2＋CM2－2×AC×CM×cos∠ACB

，

所以．

所以CM＝AM，

所以∠ACM＝∠CAM＝30°，

所以∠MAB＝∠CAB－∠CAM＝120°－30°＝90°，即AM⊥AB．

易知AA1⊥平面ABC，AM平面ABC，

所以AA1⊥AM．

又因?yàn)?/span>AB∩AA1＝A，所以AM⊥平面ABB1A1．

以A為原點(diǎn)，AM，AB，AA1分別為x，y，z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則點(diǎn)A（0，0，0），M（，0，0），A1（0，0，3），B（0，2，0），

所以，．

設(shè)平面A1BM的法向量為m＝（x0，y0，z0），則

令z0＝2，得m＝（，3，2），易得平面AA1M的一個(gè)法向量為n＝（0，1，0）．

設(shè)二面角A－A1M－B的平面角為θ，由題意，得θ為銳角，則．

所以二面角A－A1M－B的余弦值為．