Question

【題目】設(shè)，曲線在點處的切線與直線垂直．

（1）求的值；

（2）若對于任意的恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合列方程，即可求得的值；（2）把（1）中求得的值代入函數(shù)解析式，由，得到，構(gòu)造函數(shù)，即，然后對分類討論，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而可得的取值范圍．

試題解析：（1）f′（x）= ，由題設(shè)f′（1）=1，∴，∴a=0．

（2），x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即4lnx≤m（3x﹣﹣2）

設(shè)g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即x∈[1，|+∞），g（x）≤0，

∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣4m

①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設(shè)g（x）≤0矛盾

②若m∈（0，1），當(dāng)x∈（1，，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=0，與題設(shè)矛盾．

③若m≥1，當(dāng)x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立 綜上所述，m≥1．