Question

【題目】已知平面內動點到兩定點和的距離之和為4.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知直線和的傾斜角均為，直線過坐標原點且與曲線相交于， 兩點，直線過點且與曲線是交于， 兩點，求證：對任意， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義可得動點的軌跡E是以定點和為焦點的橢圓，且，從而得方程；

（Ⅱ）由題設可設直線的參數方程分別為； ，將直線的參數方程分別和橢圓聯立后整理得： ； ，由和，從而由韋達定理求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）解： 則根據橢圓的定義得：動點的軌跡E是以定點和為焦點的橢圓，且，

，

可得動點M的軌跡的方程為．

（Ⅱ）證明：由題設可設直線的參數方程分別為

； ．

將直線的參數方程分別和橢圓聯立后整理得：

； ．

則由參數t的幾何意義、根與系數的關系及橢圓的對稱性有：

；

，

故．