Question

設動點P(x,y)(x≥0)到定點F的距離比到y軸的距離大.記點P的軌跡為曲線C.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設圓M過A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦,當M運動時弦長BD是否為定值?說明理由;
(3)過F作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.

Answer 1

(1) y²=2x  (2) BD=2,即弦長BD為定值   (3)8

解:(1)由題意知,所求動點P(x,y)的軌跡為以F為焦點,直線l:x=-為準線的拋物線,其方程為y²=2x.
(2)是定值.解法如下:設圓心M,
半徑r=,
圓的方程為+(y-a)²=a²+,
令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2,即弦長BD為定值.
(3)設過F的直線GH的方程為y=k,G(x₁,y₁),H(x₂,y₂),
由得k²x²-(k²+2)x+=0,
∴x₁+x₂=1+,x₁x₂=,
∴|GH|=·=2+,
同理得|RS|=2+2k².
S_{四邊形GRHS}=(2+2k²)= 2≥8(當且僅當k=±1時取等號).
∴四邊形GRHS面積的最小值為8.