Question

已知拋物線C:y²=8x與點M(-2,2),過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點,若·=0,則k等于(　　)
(A)    (B)    (C)       (D)2

Answer 1

D

法一　設直線方程為y=k(x-2),A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),
由
得k²x²-4(k²+2)x+4k²=0,
∴x₁+x₂=,
x₁x₂=4,
由·=0,
得(x₁+2,y₁-2)·(x₂+2,y₂-2)=(x₁+2)(x₂+2)+[k(x₁-2)-2][k(x₂-2)-2]=0,
代入整理得k²-4k+4=0,
解得k=2.故選D.
法二　如圖所示,設F為焦點,取AB中點P,
過A、B分別作準線的垂線,垂足分別為G、H,
連接MF,MP,

由·=0,
知MA⊥MB,
則|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),
所以MP為直角梯形BHGA的中位線,
所以MP∥AG∥BH,
所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,
又|AG|=|AF|,
|AM|=|AM|,
所以△AMG≌△AMF,
所以∠AFM=∠AGM=90°,
則MF⊥AB,所以k=-=2.