Question

如圖所示,設P是拋物線C₁:x²=y上的動點,過點P作圓C₂:x²+(y+3)²=1的兩條切線,交直線l:y=-3于A、B兩點.

(1)求圓C₂的圓心M到拋物線C₁準線的距離;
(2)是否存在點P,使線段AB被拋物線C₁在點P處的切線平分?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）  （2）存在點P滿足題意,點P的坐標為(±,2)

解:(1)因為拋物線C₁的準線方程為y=-,
所以圓心M到拋物線C₁的準線的距離為
=.
(2)設點P的坐標為(x₀,),拋物線C₁在點P處的切線交直線l于點D.
再設A,B,D的橫坐標分別為x_A,x_B,x_D,
過點P(x₀,)的拋物線C₁的切線方程為
y-=2x₀(x-x₀).①
當x₀=1時,過點P(1,1)與圓C₂相切的直線PA的方程為
y-1=(x-1).
可得x_A=-,x_B=1,x_D=-1,x_A+x_B≠2x_D.
當x₀=-1時,過點P(-1,1)與圓C₂相切的直線PB的方程為y-1=-(x+1),
可得x_A=-1,x_B=,x_D=1,x_A+x_B≠2x_D,
所以-1≠0.
設切線PA、PB的斜率為k₁,k₂,
則PA:y-=k₁(x-x₀),②
PB:y-=k₂(x-x₀),③
將y=-3分別代入①②③得
x_D=(x₀≠0),
x_A=x₀-,
x_B=x₀-(k₁,k₂≠0),
∴x_A+x_B=2x₀-(+3)（+）.
又=1,
即(-1)-2(+3)x₀k₁+(+3)²-1=0.
同理,(-1)-2(+3)x₀k₂+(+3)²-1=0.
∴k₁、k₂是方程(-1)k²-2(+3)x₀k+(+3)²-1=0的兩個不相等的根,
從而k₁+k₂=,
k₁·k₂=.
因為x_A+x_B=2x_D,
所以2x₀-(3+)（+）=,
即+=.
從而=,
進而得=8,
所以x₀=±.
綜上所述,存在點P滿足題意,點P的坐標為(±,2).