Question

【題目】已知各項為正數的數列滿足：且．

（1）證明：數列為等差數列．

（2）若，證明：對一切正整數n，都有

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據所給遞推公式，將式子變形，即可由等差數列定義證明數列為等差數列.

（2）根據數列為等差數列，結合等差數列通項公式求法求得通項公式，并變形后令.由求得的取值范圍，即可表示出，由不等式性質進行放縮，求得后，即可證明不等式成立.

（1）證明：各項為正數的數列滿足：

則，，

同取倒數可得，

所以，

由等差數列定義可知數列為等差數列．

（2）證明： 由（1）可知數列為等差數列．，

則數列是以為首項，以為公差的等差數列.

則，

令，

因為，

所以，

則，

所以，

所以

，

所以

由不等式性質可知，若，則總成立，

因而，

所以

所以

不等式得證.