Question

【題目】已知圓C：x2＋(y－a)2＝4，點A(1,0)．

(1)當過點A的圓C的切線存在時，求實數a的取值范圍；

(2)設AM、AN為圓C的兩條切線，M、N為切點，當MN＝時，求MN所在直線的方程．

Answer 1

【答案】(1)a≥或a≤－.(2)x－2y＝0或x＋2y＝0.

【解析】試題分析：（1）由直線與圓的位置關系，得當點A在圓外或圓上過點A的圓C的切線存在．再由點與圓的位置關系，建立關于a的不等式，解之即得實數a的取值范圍；
（2）根據圓的對稱性得到|DM|=|MN|=．利用垂徑定理算出CD的長度，在Rt△MCD中，算出cos∠MCD的值，得cos∠MCA=．然后在Rt△MCA中利用解三角形知識算出AC長，結合|OC|=2得出|AM|=1．由題意知MN是以A為圓心、半徑為AM的圓與圓C的公共弦，由此列式即可求出MN所在直線的方程．

試題解析：(1)過點A的切線存在，即點A在圓外或圓上，

∴1＋a2≥4，∴a≥或a≤－.

(2)設MN與AC交于點D，O為坐標原點．

∵MN＝，∴DM＝.

又MC＝2，∴CD＝＝，

∴cos∠MCA＝＝

∵AC＝＝，∴OC＝2，AM＝1，

MN是以點A為圓心，半徑AM＝1的圓A與圓C的公共弦，圓A的方程為(x－1)2＋y2＝1

圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4，或x2＋(y＋2)2＝4，

∴MN所在直線的方程為：(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，

即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，

即x＋2y＝0，因此，MN所在直線的方程為x－2y＝0或x＋2y＝0.