Question

【題目】已知正項等比數列{an}(n∈N*)，首項a1＝3，前n項和為Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差數列．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）數列{nan}的前n項和為Tn，若對任意正整數n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

Answer 1

【答案】(1)an＝3×()n－1.(2)9.

【解析】試題分析：（1）設等比數列{an}的公比為q，由題意，列成方程，求解 ，即可求解數列的通項公式；

（2）由（1）知nan＝3n×，用乘公比錯位相減法求的Tn，根據Tn的增減性，求解3≤Tn＜12，即可求解b－a的最小值.

試題解析：(1)設等比數列{an}的公比為q，

∵S3＋a3、S5＋a5、S4＋a4成等差數列，

∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)

即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，

化簡得4a5＝a3，從而4q2＝1，解得q＝±，

∵an＞0，∴q＝，得an＝3×()n－1.

(2)由(1)知，nan＝3n×()n－1，Tn＝3×1＋3×2×()＋3×3×()2＋…＋3n()n－1;

Tn＝3×1×()＋3×2×()2＋…＋3(n－1)×()n－1＋3n()n

兩式相減得：Tn＝3×1＋3×()＋3×()2＋…＋3×()n－1－3n()n

＝3×－3n()n＝6－，

∴Tn＝12－＜12.

又nan＝3n×()n－1＞0，∴{Tn}單調遞增，

∴(Tn)min＝T1＝3，故有3≤Tn＜12.

∵對任意正整數n，都有Tn∈[a，b]，

∴a≤3，b≥12.

即a的最大值為3，b的最小值為12.

故(b－a)min＝12－3＝9.