Question

【題目】在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下．根據壽命將燈泡分成優等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于天的燈泡是優等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品．

壽命（天）	頻數	頻率
合計

（Ⅰ）根據頻率分布表中的數據，寫出， 的值．

（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，求個燈泡中恰有一個是優等品的概率．

（Ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ．（Ⅱ）．（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據頻數之和為100以及頻率之和為1分別求出， 的值；（2）先確定抽取一個優等品的概率為，故個燈泡中恰有個是優等品的概率是．

（3）先確定隨機變量的可能取值為， ， ， ，，根據題中條件確定在不同取值下的概率，并列出相應的分布列，求出數學期望.

試題解析：（Ⅰ）由頻率分布表的數據可知： ， ．

（Ⅱ）由表中數據可知，從燈泡樣品中隨機抽取一個優等品的概率為，

故個燈泡中恰有個是優等品的概率是．

（Ⅲ）的所有取值為， ， ， ，

由題意，夠買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為，從這次批次燈泡中購買個，可看成次獨立重復試驗，

所以： ，

，

，

．

所以隨機變量的分布列為：

．