Question

【題目】已知函數有兩個不同的極值點，，且．

（1）求實數的取值范圍；

（2）設上述的取值范圍為，若存在，使對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

試題分析：(1)注意函數的定義域,對函數求導,令，則，根據方程有兩個不等正根，求出的范圍；(2)求出函數在上的單調性,并求出最大值,已知恒成立轉化為恒成立,設，則的最小值大于即可,討論函數的單調性,求出的范圍.

試題解析：（1），

令，則，

根據題意，方程有兩個不等正根，則即

解得，

故實數的取值范圍是．

（2）由，得．

即或，

所以在和上是增函數，

因為，則，所以在上是增函數，

當時，

．

由題意，當時，恒成立，即

，即恒成立，

設，

則．

（1）當時，因為，則，所以在上是減函數，

此時，，不合題意．

（2）當時，若，即，因為，則，，

所以在上是增函數，此時，符合題意．

若，即，則，

當時，，則，所以在上是減函數，

此時，，不合題意．

綜上可知，的取值范圍是．