Question

某班聯歡晚會玩投球游戲，規則如下：每人最多可連續投5只球，累積有三次投中即可獲獎；否則不獲獎．同時要求在以下兩種情況下中止投球：①已獲獎；②累積3次沒有投中目標．已知某同學每次投中目標的概率是常數p（p＞0.5），且投完3次就中止投擲的概率為

1

3

，設游戲結束時，該同學投出的球數為X．
（1）求p的值；
（2）求X的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率

專題：概率與統計

分析：（1）根據投完3次就中止投擲的概率為

1

3

，列出方程，求出p的值即可；
（2）分別求出X=3，4，5時的概率，然后求出X的分布列，最后用X的值乘以其概率，求和即可求出數學期望的值．

解答： 解：（1）根據題意，可得
P(X=3)=p3+(1-p)3=

1

3

，
解得：p=

2

3

或p=

1

3

（p＞0.5，舍去），
所以p=

2

3

；
（2）X的所有可能值為3，4，5，
P(X=3)=

1

3

，
P(X=4)=

C

2 3

p3(1-p)+

C

2 3

p(1-p)3=

C

2 3

p(1-p)[p2+(1-p)]=

10

27

，
P(X=5)=

C

2 4

p3(1-p)2+

C

2 4

p2(1-p)3=

C

2 4

p2(1-p)2=

8

27

，
所以X的分布列為：

X	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

所以X的數學期望為：
EX=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點評：本題主要考查了離散型隨機變量的概率和期望的求法，獨立重復試驗等知識的運用，考查數據處理能力、運算求解能力及應用意識等，屬于中檔題．