Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2（n∈N₊）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n•log₂a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，當n＞1時，S_n-1=2a_n-1-1，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，由此可知{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，進而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）先求出數列{a_n•log₂a_n}的通項，由于該數列的通項是一個等差數列與等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的和．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2．
當n＞1時，S_n-1=2a_n-1-1，
∴S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，∴a_n=2ⁿ，n∈N^*．
（2）a_n•log₂a_n=n•2ⁿ，
T_n=1×2+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
則T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列，以及錯位相減法求數列的和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．