Question

【題目】已知定義在實數集R上的奇函數f（x）有最小正周期2，且當x∈（0，1）時， ．
（Ⅰ）求函數f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調性；
（Ⅲ）當λ取何值時，方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數解？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是x∈R上的奇函數，∴f（0）=0．

設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），

= =f（x）

∴

∴

（Ⅱ）證明：設0＜x1＜x2＜1，

則 ，

∵0＜x1＜x2＜1，

∴ ， ，

∴f（x1）-f（x2）＞0

∴f（x）在（0，1）上為減函數．

（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上為減函數，

∴f（1）＜f（x）＜f（0）即

同理，f（x）在（-1，0）上時，f（x）

又f（0）=0

當 或 或λ=0時方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數解．

【解析】（1）由于f（x）是定義域R上的奇函數，故一定有f（0）=0，設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），根據f（-x）=-f（x），得出f（x）的解析式；（2）設0＜x1＜x2＜1，由單調函數的定義，著差證出f（x1）-f（x2）＞0，故f（x）在（0，1）上為減函數；（3）由二問可知f（x）在（0，1）上為減函數，得出f（x）在（0,1）的值域，同理得出（-1,0）的值域，又因為f（0）=0，不難得出當 λ ∈ ( ， ) 或 ( ， ) 或λ=0時方程f（x）=λ在（-1，1）上有實數解
【考點精析】利用函數奇偶性的性質和奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．