Question

【題目】設函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（﹣1）=0，當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B.（﹣1，0）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
D.（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設g（x）= ，則g（x）的導數為：g′（x）= ，

∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，

即當x＞0時，g′（x）恒小于0，

∴當x＞0時，函數g（x）= 為減函數，

又∵g（﹣x）= = = =g（x），

∴函數g（x）為定義域上的偶函數

又∵g（﹣1）= =0，

∴函數g（x）的圖象性質類似如圖：

數形結合可得，不等式f（x）＞0xg（x）＞0

或 ，

0＜x＜1或x＜﹣1．

故選：A．

由已知當x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數g（x）= 為減函數，由已知f（x）是定義在R上的奇函數，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，根據函數g（x）在（0，+∞）上的單調性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價于xg（x）＞0，數形結合解不等式組即可．