Question

【題目】已知函數 。

（1）當時，討論的單調性；

（2）若在點處的切線方程為，若對任意的

恒有，求的取值范圍（是自然對數的底數）。

Answer 1

【答案】(1) 當時， 在上單調遞增；當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；(2)

【解析】試題分析：

（1）求導數，分三種情況分別討論導函數的符號，從而得到函數的單調情況。（2）根據導數的幾何意義可得，從而。故由題意得對任意的恒成立。設， ，根據單調性可求得，從而可得。

試題解析：

（1）當時， ，

所以。

令，解得或，

①當時， ，所以在上單調遞增；

②當時， ，列表得：

所以在上單調遞增，在上單調遞減；

③當時， ，列表得：

所以在上單調遞增，在上單調遞減。

綜上可得，當時， 在上單調遞增；

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減。

（2）因為，

所以，

由題意得，

整理得，解得

所以，

因為對任意的恒成立，

所以對任意的恒成立，

設，

則，

所以當時， 單調遞減，

當時， 單調遞增。

因為，

所以，

所以，

解得。

所以實數的取值范圍為。