Question

【題目】已知函數的極大值為16，極小值為－16.

（1）求和的值；

（2）若過點可作三條不同的直線與曲線相切，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），； （2）.

【解析】

（1）求出導函數，確定極大值和極小值，由題意可求得；

（2）設切點，切線方程為，即，由切線過點，得，

從而此方程有3個實數根，問題轉化為函數有3個零點，再由導數研究的極大值和極小值可得出結論．

（1）函數，

.

可得：函數在，上單調遞增，在上單調遞減.

∴時函數取得極大值16，時函數取得極小值－16.

∴，，

聯立解得：，，

（2）由（1）可知，設切點，

則切線方程為，即，

因為切線過點，所以，

由于有3條切線，所以方程有3個實數根，

設，則只要使有3個零點，

令，解得或，

當，時，，單調遞增；

當時，，單調遞減，

所以時，取極大值，時，取極小值，

所以要是曲線與軸有3個交點，當且僅當，即，

解得，即實數的取值范圍為.