Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，平面，底面為菱形，且，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據菱形基本性質得BC⊥AE，再由線面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面PAE；

（2）以P為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面BAP與平面CDP的法向量計算即可.

（1）連接AC，因為底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC為正三角形，

因為E為BC的中點，所以BC⊥AE，又因為AP⊥平面PBC，BC平面PBC，

所以BC⊥AP，因為AP∩AE＝A，AP，AE平面PAE，所以BC⊥平面PAE；

（2）因為AP⊥平面PBC，PB平面PBC，所以AP⊥PB，又因為AB＝2，PA＝1，所以PB＝，

由（1）得BC⊥PE，又因為E為BC中點，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝，

如圖，過點P作BC的平行線PQ，則PQ，PE，PA兩兩互相垂直，

以P為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1），

設平面BAP的一個法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），

由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，則＝（1，，0），

設平面CDP的一個法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1），

由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，則＝（1，﹣，2），

所以，即平面ABP與平面CDP所成銳二面角的余弦值為．