Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程是（是參數）.以原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上的動點，過點且與垂直的直線交于點，求的最小值，并求此時點的直角坐標.

Answer 1

【答案】（1）曲線的普通方程為：；曲線的直角坐標方程為：（2）的最小值為6，此時點的坐標為

【解析】

（1）利用消參法，消去參數，可把曲線的參數方程化為普通方程；通過極坐標和直角坐標的互化公式，可將曲線的極坐標方程化成直角坐標方程；

（2）點是曲線上動點，由的參數方程可表示出點坐標，運用點到直線距離公式求到直線的距離，再運用輔助角公式化簡即可得出答案.

（1）由曲線，可得：

兩式兩邊平方相加可得：曲線的普通方程為：.

由曲線得：，

即，所以曲線的直角坐標方程為：.

（2）由（1）知橢圓與直線無公共點，

橢圓上的點到直線的距離為

，

當時，的最小值為，

此時的最小值為6，此時點的坐標為.