Question

【題目】已知數列滿足，（是自然對數的底數），且，令（）.

（1）證明：；

（2）證明：是等比數列，且的通項公式是；

（3）是否存在常數，對任意自然數均有成立？若存在，求的取值范圍，否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，

【解析】

（1）由已知可得：．利用基本不等式的性質可得：，可得，代入化簡即可得出．

（2）設，由，．可得．即可證明是等比數列，利用通項公式、累加求和方法即可得出．

（3）假設存在常數，對任意自然數均有成立．由（2）可得：．時，，解得．時，，利用單調性即可得出．

解：（1）依題意得，要證明，即證明，

又因為，所以，

要證明，即證明，要證明，即證明，

又因為，即得證.

（2）設，因為，且，

則.

所以：是公比為的等比數列，則，

．

的通項公式是；

（3）假設存在存在常數，對任意自然數均有成立，

由（2）知，，

當時，；

當時，，

而，

則當時，，故存在這樣的，